Pohon faktor untuk FPB dan KPK

Pohon faktor untuk

FPB danKPK

Setelah mempelajari konsep KPK dan FPB, kita akan mempelajari salah satu cara menghitung KPK dan FPB dengan mudah, yaitu dengan pohon faktor. Sebelumnya kita akan berkenalan dahulu dengan bilangan prima.

Apakah Bilangan Prima Itu?

Bilangan prima akan mempunyai sifat khusus berkaitan dengan faktor. Untuk mengetahui bilangan prima, ayo bermain dengan tabel berikut :

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

1. Coretlah bilangan 1
2. Coretlah semua bilangan kelipatan 2 selain 2
3. Coretlah semua bilangan kelipatan 3 selain 3
4. Coretlah semua bilangan kelipatan 5 selain 5
5. Coretlah semua bilangan kelipatan 7 selain 7
6. Bilangan berapa sajakah yang tersisa?
7. Apa keistimewaan bilangan-bilangan tersebut?
8. Apa yang dapat Kamu simpulkan dari kegiatan ini?



Dari kegiatan di atas, apakah bilangan-bilangan yang masih bersisa (tidak dicoret) sama seperti bilangan berikut?

2	3	5	7	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47
53	59	61	67	71
73	79	83	91	97

Cobalah tuliskan faktor-faktor dari masing-masing bilangan di atas. Keistimewaan apa yang didapatkan?
Bilangan-bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan seperti itulah yang disebut dengan bilangan prima .

Simpulkan dengan bahasamu sendiri apa itu bilangan prima!

Pohon faktor dan Faktorisasi Prima

Pohon faktor berbentuk seperti dahan-dahan pohon yang ujungnya berupa bilangan prima sebagai pembagi bilangan asal.

Contohnya akan dibuat pohon faktor untuk bilangan 125.

Bagi 125 dengan suatu bilangan prima hingga menghasilkan bilangan bulat.
125 : 2 = 62,5 (bukan bilangan bulat)
125 : 3 = 41,67 (bukan bilangan bulat)
125 : 5 = 25 (bilangan bulat)

Maka kita dapat memilih 5 sebagai dahan pohon pertama dan hasilnya (25) bukan bilangan prima sehingga tidak bisa menjadi dahan pohon yang ujung. Oleh karena itu, 25 harus dibagi lagi dengan bilangan prima, yaitu 5 dan menghasilkan 5 yang keduanya bisa menjadi dahan pohon terujung. Pohon faktor 125 tampak pada gambar berikut:

Dari pohon faktor tersebut, dapat dituliskan faktorisasi prima dari 125, yaitu perkalian bilangan prima yang terdapat pada dahan pohon yang terujung.

Faktorisasi prima: 125 = 5 x 5 x 5

FPB dan KPK dengan pohon faktor

Misalkan akan ditentukan FPB dan KPK dari 15 dan 35.
Buat pohon faktor dari kedua bilangan tersebut:

Diperoleh:
15=3×5
35=5×7

Agar mudah menghitung FPB dan KPK dua bilangan, samakan factor bilangan primanya. Jika tidak ada faktor bilangan prima, buat bilangan tersebut menjadi pangkat 0 yang nilainya akan sama dengan 1, seperti berikut ini:
15 = 3¹ x 5¹ x 7⁰
35 = 3⁰ x 5¹ x 7¹

Untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut, pilih faktor-faktor prima yang berpangkat terendah.

Sedangkan untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari kedua bilangan tersebut, pilih faktor-faktor prima yang berpangkat tertinggi.

MAKA :
FPB = 3⁰ x 5¹ x 7⁰ = 5
KPK = 3¹ x 5¹ x 7¹ = 105