Friday, January 1, 2010

Manik-manik FPB dan KPK

Manik-manik FPB dan KPK

Ibu Nani memiliki perusahaan kecil perangkaian manik-manik untuk tepi kain. Kain-kain yang telah diberi hiasan manik-manik tersebut nantinya bisa dijadikan taplak, sarung bantal duduk, kain penutup tudung saji, dan sebagainya. Karyawan Ibu Nani adalah sepupu-sepupunya, yaitu Ibu Neti, Ibu Mira, dan Ibu Zakiyah. Kerjasama yang bagus dari para karyawannya mengakibatkan perusahaan Ibu Nani selalu mendapat pesanan yang banyak dari para pelanggan.

Suatu hari, Ibu Neti membeli 150 manik-manik warna merah muda, Ibu Mira membeli 225 manik-manik warna putih sedangkan Ibu Zakiyah membeli 175 manik-manik warna biru muda. Nah, dari manik-manik tiga warna itulah mereka akan membuat rangkaian manik-manik. Syaratnya adalah tiap warna manik-manik dibagi sama rata untuk tiap rangkaian. Ibu Mira mengatakan pada hari itu mereka akan dapat membuat paling banyak 25 rangkaian manik-manik. Benarkah perkataan Ibu Mira?

Permasalahan pada cerita di atas dapat dibawa ke dalam suatu konsep yang melibatkan perhitungan faktor persekutuan terbesar (FPB). Perhatikan bahwa Ibu Neti dapat membagi sama rata 150 manik-maniknya menjadi 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 manik-manik untuk tiap rangkaian. Ibu Mira dapat membagi sama rata 225 manik-maniknya menjadi 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 manik-manik untuk tiap rangkaian. Sedangkan Ibu Zakiyah dapat membagi sama rata 175 manik-maniknya menjadi 1, 5, 7, 25, 35, 175 manik-manik untuk tiap rangkaian. Setelah dilihat kembali, ternyata mereka bertiga secara bersama dapat membagi manik-manik menjadi 25 rangkaian warna berbeda yang sama rata. Oleh karena itu, mereka akan dapat membuat paling banyak 25 rangkaian manik-manik seperti yang telah dikatakan oleh Ibu Mira.

Setelah tiap manik-manik dibagi sama rata untuk 25 rangkaian, Ibu Neti, Ibu Mira dan Ibu Zakiyah mulai merangkai manik-manik tersebut. Ibu Neti menyisipkan warna merah untuk 4 tiap susunan manik-manik. Ibu mira menyisipkan warna merah untuk 6 tiap susunan manik-manik. Sedangkan Ibu Zakiyah menyisipkan warna merah untuk tiap 3 susunan manik-manik. Kapankah manik-manik merah pertama kali dirangkai bersama oleh ketiga karyawan tersebut?

Ternyata permasalahan tersebut dapat dibawa ke dalam suatu konsep yang melibatkan perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Perhatikan bahwa Ibu Neti akan menyisipkan manik-manik merah pada susunan ke-4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... . Ibu Mira akan menyisipkan manik-manik merah pada susunan ke-6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … . Sedangkan Ibu Zakiyah akan menyisipkan manik-manik merah pada susunan ke-3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … . Setelah dilihat kembali, ternyata mereka bertiga secara bersama akan menyisipkan manik-manik merah pada susunan ke 12, 24, … . Nah, oleh karena itu, manik-manik merah pertama kali akan dirangkai bersama oleh ketiga karyawan tersebut pada susunan ke-12. Inilah yang disebut dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).


Ternyata permasalahan dalam kehidupan sehari-hari banyak yang berhubungan dengan konsep FPB dan KPK ya? Cobalah cari permasalahan lainnya dan katakan pada temanmu bahwa matematika itu mudah! ^^

Pohon faktor untuk FPB dan KPK

Pohon faktor untuk

FPB danKPK


Setelah mempelajari konsep KPK dan FPB, kita akan mempelajari salah satu cara menghitung KPK dan FPB dengan mudah, yaitu dengan pohon faktor. Sebelumnya kita akan berkenalan dahulu dengan bilangan prima.


Apakah Bilangan Prima Itu?


Bilangan prima akan mempunyai sifat khusus berkaitan dengan faktor. Untuk mengetahui bilangan prima, ayo bermain dengan tabel berikut :




























































































































12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100




1. Coretlah bilangan 1
2. Coretlah semua bilangan kelipatan 2 selain 2
3. Coretlah semua bilangan kelipatan 3 selain 3
4. Coretlah semua bilangan kelipatan 5 selain 5
5. Coretlah semua bilangan kelipatan 7 selain 7
6. Bilangan berapa sajakah yang tersisa?
7. Apa keistimewaan bilangan-bilangan tersebut?
8. Apa yang dapat Kamu simpulkan dari kegiatan ini?



Dari kegiatan di atas, apakah bilangan-bilangan yang masih bersisa (tidak dicoret) sama seperti bilangan berikut?







































235711
1317192329
3137414347
5359616771
7379839197







Cobalah tuliskan faktor-faktor dari masing-masing bilangan di atas. Keistimewaan apa yang didapatkan?
Bilangan-bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan seperti itulah yang disebut dengan bilangan prima .

Simpulkan dengan bahasamu sendiri apa itu bilangan prima!


Pohon faktor dan Faktorisasi Prima

Pohon faktor berbentuk seperti dahan-dahan pohon yang ujungnya berupa bilangan prima sebagai pembagi bilangan asal.

Contohnya akan dibuat pohon faktor untuk bilangan 125.

Bagi 125 dengan suatu bilangan prima hingga menghasilkan bilangan bulat.
125 : 2 = 62,5 (bukan bilangan bulat)
125 : 3 = 41,67 (bukan bilangan bulat)
125 : 5 = 25 (bilangan bulat)

Maka kita dapat memilih 5 sebagai dahan pohon pertama dan hasilnya (25) bukan bilangan prima sehingga tidak bisa menjadi dahan pohon yang ujung. Oleh karena itu, 25 harus dibagi lagi dengan bilangan prima, yaitu 5 dan menghasilkan 5 yang keduanya bisa menjadi dahan pohon terujung. Pohon faktor 125 tampak pada gambar berikut:

Dari pohon faktor tersebut, dapat dituliskan faktorisasi prima dari 125, yaitu perkalian bilangan prima yang terdapat pada dahan pohon yang terujung.

Faktorisasi prima: 125 = 5 x 5 x 5


FPB dan KPK dengan pohon faktor

Misalkan akan ditentukan FPB dan KPK dari 15 dan 35.
Buat pohon faktor dari kedua bilangan tersebut:

Diperoleh:
15=3×5
35=5×7

Agar mudah menghitung FPB dan KPK dua bilangan, samakan factor bilangan primanya. Jika tidak ada faktor bilangan prima, buat bilangan tersebut menjadi pangkat 0 yang nilainya akan sama dengan 1, seperti berikut ini:
15 = 31 x 51 x 70
35 = 30 x 51 x 71

Untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut, pilih faktor-faktor prima yang berpangkat terendah.

Sedangkan untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari kedua bilangan tersebut, pilih faktor-faktor prima yang berpangkat tertinggi.

MAKA :
FPB = 30 x 51 x 70 = 5
KPK = 31 x 51 x 71 = 105

Diagram Venn untuk FPB dan KPK

Diagram Venn untuk FPB dan KPK

Materi himpunan memang masih belum diberikan pada siswa sekolah dasar, tetapi konsep tersebut dapat dikenalkan sekaligus dalam membelajarkan cara menghitung FPB dan KPK.

Bagaimanakah caranya?

Misalkan akan dicari FPB dan KPK dari bilangan 16 dan 12.

Terlebih dahulu dicari faktorisasi prima dari 16 dan 12, yaitu:
12=2×2×3
16=2×2×2×2

Kemudian faktor-faktor prima tersebut diletakkan dalam diagram Venn seperti pada gambar berikut:

Misalkan

A adalah himpunan faktor-faktor prima dari 12 dan
B adalah himpunan faktor-faktor prima dari 16


Perhatikan bahwa ada dua bilangan “2” dari himpunan A dan himpunan B. Faktor yang sama dari kedua bilangan itu diletakkan di tempat irisan dua himpunan (yang diberi warna merah muda) seperti pada gambar berikut:


Faktor persekutuan terbesar kedua bilangan ditunjukkan dengan perkalian bilangan-bilangan yang merupakan irisan kedua bilangan tersebut.
Sedangkan kelipatan persekutuan terkecil ditunjukkan dengan gabungan bilangan-bilangan tersebut, yaitu dengan mengalikan semua bilangan dalam kedua himpunan.

Sehingga:
FPB 12 dan 16 adalah 2×2=4.
KPK 12 dan 16 adalah 3×2×2×2×2=48.

Kasus khusus:

Misalkan akan dicari FPB dan KPK dari bilangan 8 dan 9.
Faktorisasi prima dari 8 dan 9, yaitu:
8=2×2×2
9=3×3

Misalkan

A adalah himpunan faktor-faktor prima dari 8 dan
B adalah himpunan faktor-faktor prima dari 9


Perhatikan bahwa tidak ada bilangan yang sama dari himpunan A dan himpunan B. Maka anggota irisan kedua himpunan tadi tidak ada (himpunan kosong). Oleh karena itu, faktor persekutuan terbesar (FPB) kedua bilangan tersebut adalah 1.

Sedangkan kelipatan persekutuan terkecil ditunjukkan dengan gabungan bilangan-bilangan tersebut, yaitu dengan mengalikan semua bilangan dalam kedua himpunan. Sehingga KPK 8 dan 9 adalah 3×3×2×2×2=72.

Kesimpulan apa yang bisa diperoleh dari kejadian khusus ini?

Ternyata bila FBP dua bilangan sama dengan 1, maka KPK nya merupakan perkalian dua bilangan tersebut.


Wah, mudah ya? Semua akan bisa melakukannya ^^

Bagaimanakah membelajarkan Konsep FPB dan KPK?

Bagaimanakah Membelajarkan
Konsep FPB dan KPK?

Sebelum membelajarkan konsep FPB dan KPK, sebaiknya siswa diajarkan terlebih dulu tentang konsep kelipatan, faktor dan persekutuan.

Apakah Kelipatan Itu?

Suatu minggu pagi, Budi akan pergi berekreasi dengan Yudi. Setiap anak membawa satu kantong berisi 2 jeruk, maka semua ada 2 x 2 jeruk. Kemudian datang seorang lagi kawan Budi bernama Gandhi, dia juga membawa satu kantong berisi 2 jeruk, maka sekarang ada 3 x 2 jeruk. Adik Gandhi meminta ikut berekreasi dan dia juga membawa satu kantong berisi 2 jeruk. Sekarang banyak jeruk mereka ada 4 x 2 jeruk. Jika datang seorang lagi teman Budi, maka banyak jeruk akan menjadi 5 x 2 jeruk. Demikian banyak jeruk akan menjadi 6 x 2 jeruk, 7 x 2 jeruk dan seterusnya.

Banyak jeruk dapat dituliskan dalam bentuk perkalian:

1 x 2, 2 x 2, 3 x 2, 4 x 2, 5 x 2, 6 x 2, …

Siswa diminta untuk menuliskan dalam bentuk hasil kalinya seperti berikut:

2, 4, 6, 8, 10, …


Dari aktivitas di atas, guru menyampaikan bahwa hasil yang telah didapatkan tersebut merupakan suatu kelipatan 2. Berikan bentuk cerita lain dengan kelipatan 3, atau kelipatan lainnya. Selanjutnya siswa akan mengerti tentang kelipatan. Jadi, kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan asli.


Selain cara di atas, guru dapat menggunakan metode garis bilangan. Guru mengingatkan siswa tentang bilangan loncat.


Bilangan loncat 2 adalah bilangan yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan yaitu 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya. Selanjutnya guru menanyakan pada siswa dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh.

Jawaban yang diharapkan adalah sebagai berikut:

2 = 2 = 1 × 2.
4 = 2 + 2 = 2 × 2.
6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 × 2.
8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2.
10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 × 2.

dan seterusnya.

Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya, atau dengan mengalikan 2 bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Dari kegiatan di atas, guru menyampaikan bahwa bilangan-bilangan yang diperoleh disebut bilangan kelipatan 2.


Apakah Faktor Itu?

Pertama kali guru mengingatkan siswa pada materi perkalian dan pembagian suatu bilangan. Guru juga bisa bertanya tentang hubungan antara operasi perkalian dan pembagian, misalnya dengan mengajak siswa untuk memperhatikan:
6 : 1 = 6
6 : 2 = 3
6 : 3 = 2
6 : 6 = 1

Dari hal di atas, diketahui bahwa 6 habis dibagi oleh bilangan 1, 2, 3, dan 6.

Atau dengan cara lain, pembagian di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
6 = 1 × 6
6 = 2 × 3
6 = 3 × 2
6 = 6 × 1


Atau dengan petak perkalian 6:


Nah, dari kegiatan di atas guru menjelaskan bahwa bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari bilangan 6. Selanjutnya, siswa akan mengerti mengani faktor suatu bilangan. Faktor adalah pembagi suatu bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut.


Kelipatan dan Faktor Persekutuan

Setelah memahami konsep kelipatan maupun faktor suatu bilangan, siswa akan belajar tentang kelipatan persekutuan dua bilangan atau tiga bilangan yang berbeda dan faktor persekutuan dua bilangan atau tiga bilangan yang berbeda. Cukup diajarkan bagaimana membelajarkan konsep kelipatan atau faktor persekutuan dua bilangan, sedangkan untuk kelipatan maupun faktor persekutuan tiga bilangan ajak siswa untuk berlatih konsep yang sama dengan sedikit pengembangan.

Dalam membelajarkan konsep persekutuan dua atau tiga bilangan, guru bisa mengawali dari contoh-contoh khusus, misalkan:


Faktor Persekutuan Terbesar dan
Kelipatan Persekutuan Terkecil

Misalkan:
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 4 dan 5!

Penyelesaian:
Kelipatan 4 adalah 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,...

Kelipatan 5 adalah 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50...

Kelipatan persekutuan 4 dan 5 adalah 20, 40, …

Dari kelipatan persekutuan tersebut, bilangan yang terkecil adalah 20.

Jadi, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) 4 dan 5 ialah 20.



Misalkan:

Tentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 6 dan 18!

Penyelesaian:

Faktor dari 6 adalah 1,2,3,6

Faktor dari 6 adalah 1,2,3,6,9,18

Faktor persekutuan 6 dan 18 adalah 1, 2, 3, 6.

Dari faktor persekutuan tersebut, bilangan yang terbesar adalah 6.

Jadi, faktor persekutuan terbesar (FPB) 6 dan 18 adalah 6.


Setelah konsep FPB dan KPK dapat dimengerti dan dikuasai oleh siswa, berikan latihan menghitung FPB dan KPK bilangan yang lainnya dan kembangkan hingga mencari FPB dan KPK tiga bilangan sekaligus. Dengan latihan, siswa akan terbiasa dan dapat menemukan sendiri cara-cara yang akan memudahkannya dalam menyelesaikan soal tentang FPB dan KPK.


Selamat mencoba dan semoga lebih paham!

Kartu Bilangan Prima untuk FPB dan KPK

Kartu Bilangan Prima
untuk FPB dan KPK

Setelah mempelajari konsep KPK dan FPB, kita akan mempelajari salah satu cara menghitung KPK dan FPB dengan suatu media, yaitu kartu bilangan prima. Sebelumnya kita akan berkenalan dahulu dengan bilangan prima.

Apakah Bilangan Prima Itu?

Bilangan prima akan mempunyai sifat khusus berkaitan dengan faktor.Salah satu cara untuk membelajarkan bilangan prima adalah dengan metode baris dan kolom. Ingat kembali arti dari perkalian 1 x 8 atau 2 x 4 untuk perkalian faktor dari 8.

Untuk mengetahui apakah suatu bilangan merupakan bilangan prima atau bukan, siapkan obyek-obyek yang banyaknya sesuai dengan banyak bilangan, kemudian susun obyek-obyek tersebut menjadi jajaran baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Jangan lupa untuk memberi nama tiap perkalian faktor dari susunan yang telah terbentuk.


Nah, jika susunan yang dibentuk hanya terdiri dari 1 baris atau 1 kolom saja, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima.

Sebagai contoh, 5 adalah bilangan prima karena obyek-obyeknya hanya dapat dibentuk sebagai berikut:


Sekarang, coba simpulkan dengan bahasamu sendiri apa itu bilangan prima!



Kartu Bilangan dan Faktorisasi Prima

Kartu bilangan prima merupakan suatu kartu yang bertuliskan bilangan prima. Kartu tersebut terdiri dari beberapa kartu ”2”, beberapa kartu “3”, dan seterusnya. Berikut ini contoh beberapa gambar kartu bilangan prima.
Dengan menyusun perkalian dari kartu-kartu bilangan prima, buatlah tabel seperti berikut:


Dengan menyusun perkalian dari kartu-kartu bilangan prima, buatlah tabel seperti berikut:



FPB dan KPK dengan Kartu Bilangan Prima


Misalkan akan ditentukan FPB dan KPK dari 15 dan 35.
Tentukan terlebih dahulu faktorisasi prima dari bilangan 15 dan 35.


Wah, ternyata ada satu kartu bilangan faktor “5” dari 15 dan satu kartu bilangan faktor “5” juga dari 35. Coba pasangkan kedua kartu yang sama itu. Lalu, jajarkan kartu-kartu tersebut. Letakkan kartu yang dipasangkan tadi dalam satu tumpukan. Hasilnya sebagai berikut:


Kalikan bilangan pada kartu-kartu tersebut. Nah, hasilkali bilangan-bilangan itu merupakan KPK dari 15 dan 35, yaitu 5 x 3 x 7 = 105.

Sedangkan hasilkali bilangan yang memiliki pasangan kartu bilangan prima merupakan FPB dari 15 dan 35, yaitu 5.

Secara singkat aturan penggunaan kartu bilangan prima dalam membelajarkan FPB dan KPK adalah sebagai berikut:
  • Tentukan faktorisasi prima dari bilangan yang akan dicari FPB dan KPKnya .
  • Susun kartu bilangan prima sesuai dengan faktorisasi prima.
  • Dari masing-masing susunan kartu bilangan prima untuk tiap bilangan, apabila ada dua kartu yang sama pasangkan menjadi satu tumpukan.
  • Setelah tiap dua kartu bilangan yang sama dipasangkan, jajarkan semua kartu menjadi satu baris.
  • Hasilkali bilangan pada kartu bilangan prima yang telah dijajar merupakan KPK.
  • Hasilkali bilangan pada kartu bilangan prima yang berpasangan merupakan FPB.

Coba praktikkan, ternyata mudah lho!

FPB dengan Pengurangan Bersisa?

FPB dengan Pengurangan

Bersisa?

Ternyata, ada cara yang mudah menghitung FPB, yaitu dengan pengurangan bersisa.

Benarkah? Mari kita coba.


Tentukan FPB dari 5 dan 6
Jawab:
6 -: 5 = 1 (selesai!)
Jadi FPB dari 5 dan 6 adalah 1.

Hanya begitu kah?
Ayo coba lagi!

Tentukan FPB dari 33 dan 30.
Jawab:
33 -: 30 = 3 (selesai!)
Jadi FPB dari 33 dan 30 adalah 3.


Bagaimana bisa ya?







Contoh 1:
Tentukan FPB dari 33 dan 27.

Jawab:
33 -: 27 = 6 (Belum selesai)

Kenapa belum selesai? Perhatikan hal berikut:





Karena 27 tidak habis dibagi 6, maka teruskan proses.

Selanjutnya:
27 -: 6 = …

Perhatikan jika kita melakukan operasi 27 – 6 = 19.
Maka sisanya akan lebih besar daripada pembagi (19 > 6).

Nah, pada proses inilah kita tidak melakukan operasi 27 – 6, tetapi 27 : 6 dan sisanya adalah 3.
27 -: 6 = 3 (selesai!)

Jadi FPB dari 33 dan 27 adalah 3.


Contoh 2:
Tentukan FPB dari 64 dan 40.

Jawab:
64 -: 40 = 24
40 -: 24 = 16
24 -: 16 = 8 (selesai!)
Jadi FPB dari 64 dan 40 adalah 8.

Prosedur penghitungan FPB di atas sejalan dengan Algoritma Euclid pada Teori Bilangan. Algoritma Euclid merupakan penerapan algoritma berkali-kali hingga menghasilkan sisa yang sama dengan nol.

Teorema:




Dengan Algoritma Euclid:

Akan dihitung FPB dari 66 dan 50.
Berdasarkan Algoritma di atas, dapat dinyatakan:
66 = (50)(1) + 16
50 = (16)(3) + 2
16 = (8)(2) + 0 -> sisa nol

Sehingga FPB dari 66 dan 50 adalah 2.

Bagaimanakah menurut Anda?